Периметр — это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.
В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.
Вконтакте
Возможные методы:
- известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
- как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
- известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.
Первый метод: известны все стороны фигуры
Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани
, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c — известные длины всех сторон треугольника, P — периметр фигуры.
Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.
Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.
Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.
Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:
Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b — катеты фигуры, а c — гипотенуза.
- Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
- Катеты — это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.
Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.
Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.
Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 — a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.
Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
Третий метод: по двум граням и углу между ними
В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .
Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 — (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c — стандартно длины граней, а A,B и С — это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A — угол, противолежащий стороне a и так далее.
Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.
Все, что нужно сделать в данном случае — это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень — это будет третья, неизвестная до этого сторона.
После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.
Предварительные сведения
Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.
В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 4
Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.
Определение 5
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.
Определение 6
Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.
Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.
Как найти периметр разностороннего треугольника?
Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.
Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.
Пример 1
Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.
$P=34+12+11=57$ см
Ответ: $57$ см.
Пример 2
Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.
Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда
$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим
$P=10+8+6=24$ см
Ответ: $24$ см.
Как найти периметр равнобедренного треугольника?
Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+β=2α+β$
Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.
Пример 3
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=2\cdot 12+11=35$ см
Ответ: $35$ см.
Пример 4
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.
Рассмотрим рисунок по условию задачи:
Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.
По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда
По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим
$P=2\cdot 10+12=32$ см
Ответ: $32$ см.
Как найти периметр равностороннего треугольника?
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+α=3α$
Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.
Пример 5
Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=3\cdot 12=36$ см
Любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:
P = a + b + c
где P - это периметр треугольника, a , b и c - его стороны.
Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:
P = 2a + b
где P - это периметр равнобедренного треугольника, a - любая из боковых сторон, b - основание.
Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:
P = 3a
где P - это периметр равностороннего треугольника, a - любая из его сторон.
Площадь
Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом . Рассмотрим треугольник ABC :
Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:
В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:
Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:
Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.
Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2 . Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:
| S = | ah a |
| 2 |
где S - это площадь треугольника, a - его основание, h a - высота, опущенная на основание a .
Периметром треугольника
, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:
Пример расчета периметра треугольника. Пусть дан треугольник со сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. подставим данные в формулу: см
Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:
Формула расчета периметра равностороннего треугольника :
Пример расчета периметра равностороннего треугольника. Когда все стороны фигуры равны, то их можно просто умножить на три. Допустим, дан правильный треугольник со стороной 5 см в таком случае: см
В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора
. К примеру, если известны длины катетов, то можно найти гипотенузу по формуле: 
Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Дан треугольник с катетами a
=b
=5 см. Найти периметр. Для начала найдем недостающую сторону с
. см
Теперь посчитаем периметр: см
Периметр прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 17 см.
В случае, когда известна гипотенуза и длина одного катета, можно найти недостающий по формуле: 
Если в прямом треугольнике известна гипотенуза и один из острых углов, то недостающая сторона находится по формуле.
Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,
Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.
Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:
Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.
Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.
Альтернативный вариант
В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:
.
Периметр по двум сторонам
Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:
- биссектриса вершинного угла;
- медиана к основанию;
- высота треугольника;
- срединный перпендикуляр.
Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.
В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».
В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:
Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.
Полезное видео: задачи на периметр труегольника
Треугольник прямоугольный
Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.
В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
.
На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.
.
Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:
.
Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.
Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:
.
